std::beta, std::betaf, std::betal

 

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midpoint (C++20)	lerp (C++20)
饱和算术
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用数值运算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定义于头文件 <cmath>
	(1)
float       beta ( float x, float y ); double      beta ( double x, double y ); long double beta ( long double x, long double y );			(since C++17) (until C++23)
/* floating-point-type */ beta( /* floating-point-type */ x,                                 /* floating-point-type */ y );			(since C++23)
float       betaf( float x, float y );		(2)	(since C++17)
long double betal( long double x, long double y );		(3)	(since C++17)
附加重载
定义于头文件 <cmath>
template< class Arithmetic1, class Arithmetic2 > /* common-floating-point-type */ beta( Arithmetic1 x, Arithmetic2 y );		(A)	(since C++17)

1-3) 计算 贝塔函数，输入为 x 和 y。 库为所有非限定 cv 浮点类型提供了 std::beta 的重载，作为参数 x 和 y 的类型。(since C++23)

A) 为所有其他算术类型的组合提供了附加重载。

参数

x, y

-

浮点值或整数值

返回值

如果没有错误发生，则返回 x 和 y 的贝塔函数值，即 \(\int_{0}^{1}{ {t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}\mathsf{d}t}\)∫1
0tx-1
(1-t)(y-1)
dt，或者等价地，\(\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

Γ(x)Γ(y)

Γ(x+y)

。

错误处理

错误可能按照 math_errhandling 中指定的进行报告。

• 如果任何参数是 NaN，则返回 NaN 且不报告域错误。
• 该函数仅需要在 x 和 y 都大于零的情况下定义，否则允许报告域错误。

注解

不支持 C++17 但支持 ISO 29124:2010 的实现，如果实现将 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定义为至少 201003L 的值，并且用户在包含任何标准库头文件之前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，则会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的实现也可在 boost.math 中获得。

std::beta(x, y) 等于 std::beta(y, x)。

当 x 和 y 为正整数时，std::beta(x, y) 等于 \(\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\)

(x-1)!(y-1)!

(x+y-1)!

。二项式系数可以用贝塔函数表示： \(\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)B(n-k+1,k+1)}\)⎛
⎜
⎝n
k⎞
⎟
⎠=

1

(n+1)Β(n-k+1,k+1)

。

附加重载不需要完全按照 (A) 的形式提供。它们只需要足以确保对于它们的第一个参数 num1 和第二个参数 num2

如果 num1 或 num2 的类型为 long double，则 std::beta(num1, num2) 具有与 std::beta(static_cast<long double>(num1),           static_cast<long double>(num2)) 相同的效果。 否则，如果 num1 和/或 num2 的类型为 double 或整数类型，则 std::beta(num1, num2) 具有与 std::beta(static_cast<double>(num1),           static_cast<double>(num2)) 相同的效果。 否则，如果 num1 或 num2 的类型为 float，则 std::beta(num1, num2) 具有与 std::beta(static_cast<float>(num1),           static_cast<float>(num2)) 相同的效果。

(until C++23)

如果 num1 和 num2 具有算术类型，则 std::beta(num1, num2) 具有与 std::beta(static_cast</* common-floating-point-type */>(num1),           static_cast</* common-floating-point-type */>(num2)) 相同的效果，其中 /* common-floating-point-type */ 是浮点类型，其在 浮点转换等级 中具有最高的等级，并且在 浮点转换子等级 中具有最高的子等级，在 num1 和 num2 的类型之间，整数类型的参数被认为与 double 具有相同的浮点转换等级。 如果不存在具有最高等级和子等级的此类浮点类型，则重载解析不会从提供的重载中产生可用的候选者。

(since C++23)

示例

运行此代码

#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <numbers>
#include <string>
 
long binom_via_beta(int n, int k)
{
    return std::lround(1 / ((n + 1) * std::beta(n - k + 1, k + 1)));
}
 
long binom_via_gamma(int n, int k)
{
    return std::lround(std::tgamma(n + 1) /
                      (std::tgamma(n - k + 1) * 
                       std::tgamma(k + 1)));
}
 
int main()
{
    std::cout << "Pascal's triangle:\n";
    for (int n = 1; n < 10; ++n)
    {
        std::cout << std::string(20 - n * 2, ' ');
        for (int k = 1; k < n; ++k)
        {
            std::cout << std::setw(3) << binom_via_beta(n, k) << ' ';
            assert(binom_via_beta(n, k) == binom_via_gamma(n, k));
        }
        std::cout << '\n';
    }
 
    // A spot-check
    const long double p = 0.123; // a random value in [0, 1]
    const long double q = 1 - p;
    const long double π = std::numbers::pi_v<long double>;
    std::cout << "\n\n" << std::setprecision(19)
              << "β(p,1-p)   = " << std::beta(p, q) << '\n'
              << "π/sin(π*p) = " << π / std::sin(π * p) << '\n';
}

输出

Pascal's triangle:
 
                  2
                3   3
              4   6   4
            5  10  10   5
          6  15  20  15   6
        7  21  35  35  21   7
      8  28  56  70  56  28   8
    9  36  84 126 126  84  36   9
 
β(p,1-p)   = 8.335989149587307836
π/sin(π*p) = 8.335989149587307834

参见

tgammatgammaftgammal (C++11)(C++11)(C++11)

伽玛函数 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. "Beta Function." 来自 MathWorld — Wolfram Web Resource.