std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

 

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add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用数值运算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定义于头文件 <cmath>
	(1)
float       assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, float x ); double      assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, double x ); long double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, long double x );			(C++17 起) (直至 C++23)
/* 浮点类型 */ assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m,                                           /* 浮点类型 */ x );			(C++23 起)
float       assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x );		(2)	(C++17 起)
long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );		(3)	(C++17 起)
附加重载
定义于头文件 <cmath>
template< class Integer > double      assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, Integer x );		(A)	(C++17 起)

1-3) 计算次数为 n、阶数为 m、参数为 x 的伴随勒让德多项式。 库为参数 x 的所有 cv 非限定浮点类型提供了 std::assoc_legendre 的重载。(C++23 起)

A) 为所有整数类型提供了额外的重载，它们被视为 double。

参数

n	-	多项式的次数，一个无符号整数值
m	-	多项式的阶数，一个无符号整数值
x	-	变量，浮点或整数值

返回值

如果没有发生错误，返回参数 x 的伴随勒让德多项式 \(\mathsf{P}_n^m\)Pm
n 的值，即 \((1 - x^2) ^ {m/2} \: \frac{ \mathsf{d} ^ m}{ \mathsf{d}x ^ m} \, \mathsf{P}_n(x)\)(1-x2
)m/2

dm

dxm

Pn(x) （其中 \(\mathsf{P}_n(x)\)Pn(x) 是非伴随勒让德多项式 std::legendre(n, x)）。

注意，此定义省略了 Condon-Shortley 相位项 \((-1)^m\)(-1)m
。

错误处理

错误可能如 math_errhandling 中指定的那样报告

• 如果参数是 NaN，则返回 NaN，不报告域错误
• 如果 |x| > 1，可能会发生域错误
• 如果 n 大于或等于 128，则行为是实现定义的

注意

不支持 C++17 但支持 ISO 29124:2010 的实现，如果 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 被实现定义为至少 201003L 的值，并且用户在包含任何标准库头文件之前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，则提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的实现也在 boost.math 中可用，名为 boost::math::legendre_p，不同之处在于 boost.math 定义包含 Condon-Shortley 相位项。

前几个伴随勒让德多项式是

函数	多项式
assoc_legendre(0, 0, x)	1
assoc_legendre(1, 0, x)	x
assoc_legendre(1, 1, x)	(1 - x2 )1/2
assoc_legendre(2, 0, x)	1 2 (3x2 - 1)
assoc_legendre(2, 1, x)	3x(1 - x2 )1/2
assoc_legendre(2, 2, x)	3(1 - x2 )

不要求完全按照 (A) 提供额外的重载。它们只需足以确保对于整数类型的参数 num，std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, num) 具有与 std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) 相同的效果。

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
 
double P21(double x)
{
    return 3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
 
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

输出

-0.125=-0.125
1.29904=1.29904
2.25=2.25

另请参阅

legendrelegendreflegendrel (C++17)(C++17)(C++17)

勒让德多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. "Associated Legendre Polynomial." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.