std::sph_legendre, std::sph_legendref, std::sph_legendrel

 

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gcd (C++17)	lcm (C++17)
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midpoint (C++20)	lerp (C++20)
饱和算术
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用数值运算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定义于头文件 <cmath>
	(1)
float       sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, float theta ); double      sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, double theta ); long double sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, long double theta );			(C++17 起) (直至 C++23)
/* floating-point-type */ sph_legendre( unsigned l, unsigned m,                                         /* floating-point-type */ theta );			(C++23 起)
float       sph_legendref( unsigned l, unsigned m, float theta );		(2)	(C++17 起)
long double sph_legendrel( unsigned l, unsigned m, long double theta );		(3)	(C++17 起)
附加重载
定义于头文件 <cmath>
template< class Integer > double      sph_legendre ( unsigned l, unsigned m, Integer theta );		(A)	(C++17 起)

1-3) 计算次数为 l，阶数为 m，极角为 theta 的球面连带勒让德函数。 库为参数 theta 的所有 cv-unqualified 浮点类型提供了 std::sph_legendre 的重载。(C++23 起)

A) 为所有整数类型提供了额外的重载，它们被视为 double。

参数

l	-	次数
m	-	顺序
theta	-	以弧度测量的极角

返回值

如果没有错误发生，返回 l、m 和 theta 的球面连带勒让德函数（即 ϕ = 0 时的球面调和函数）的值，其中球面调和函数定义为 Ym
l(theta,ϕ) = (-1)m
[

(2l+1)(l-m)!

4π(l+m)!

]1/2
Pm
l(cos(theta))eimϕ
，其中 Pm
l(x) 为 std::assoc_legendre(l, m, x)) 且 |m|≤l。

注意，Condon-Shortley 相位项 (-1)m
包含在此定义中，因为它在 std::assoc_legendre 中 Pm
l 的定义中被省略了。

错误处理

错误可能按 math_errhandling 中指定的方式报告。

• 如果参数是 NaN，则返回 NaN 且不报告域错误。
• 如果 l≥128，则行为是实现定义的。

注意

不支持 C++17 但支持 ISO 29124:2010 的实现，若 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 被实现定义为至少 201003L 的值，并且用户在包含任何标准库头文件之前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，则会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

boost.math 中提供了球面调和函数的实现，当调用时将参数 phi 设置为零，它会简化为此函数。

不要求完全按照 (A) 提供额外的重载。它们只需要足以确保对于整数类型的参数 num，std::sph_legendre(int_num1, int_num2, num) 具有与 std::sph_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) 相同的效果。

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <numbers>
 
int main()
{
    // spot check for l=3, m=0
    double x = 1.2345;
    std::cout << "Y_3^0(" << x << ") = " << std::sph_legendre(3, 0, x) << '\n';
 
    // exact solution
    std::cout << "exact solution = "
              << 0.25 * std::sqrt(7 / std::numbers::pi)
                  * (5 * std::pow(std::cos(x), 3) - 3 * std::cos(x))
              << '\n';
}

输出

Y_3^0(1.2345) = -0.302387
exact solution = -0.302387

参阅

assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel (C++17)(C++17)(C++17)

伴随勒让德多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. "Spherical Harmonic." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.