std::legendre，std::legendref，std::legendrel

 

C++

编译器支持

独立和托管

语言

标准库

标准库头文件

命名需求

功能测试宏 (C++20)

语言支持库

概念库 (C++20)

元编程库 (C++11)

诊断库

通用实用程序库

字符串库

容器库

迭代器库

范围库 (C++20)

算法库

数值库

本地化库

输入/输出库

文件系统库 (C++17)

正则表达式库 (C++11)

并发支持库 (C++11)

执行支持库 (C++26)

技术规范

符号索引

外部库

 

数值库

常用数学函数
数学特殊函数 (C++17)
数学常数 (C++20)
基本线性代数算法 (C++26)
浮点环境 (C++11)
复数
数值数组 (valarray)
伪随机数生成
因式运算
gcd (C++17)	lcm (C++17)
插值
中点 (C++20)	lerp (C++20)
饱和算术
add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用数值运算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)
位运算
has_single_bit (C++20)     bit_cast (C++20) bit_ceil (C++20) bit_floor (C++20) bit_width (C++20) rotl (C++20) rotr (C++20)	popcount (C++20) countl_zero (C++20) countl_one (C++20) countr_zero (C++20) countr_one (C++20) byteswap (C++23) endian (C++20)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定义在头文件 <cmath> 中
	(1)
float       legendre ( unsigned int n, float x ); double      legendre ( unsigned int n, double x ); long double legendre ( unsigned int n, long double x );			(自 C++17 起) (直到 C++23)
/* 浮点类型 */ legendre( unsigned int n,                                     /* 浮点类型 */ x );			(自 C++23 起)
float       legendref( unsigned int n, float x );		(2)	(自 C++17 起)
long double legendrel( unsigned int n, long double x );		(3)	(自 C++17 起)
其他重载
定义在头文件 <cmath> 中
template< class Integer > double      legendre ( unsigned int n, Integer x );		(A)	(自 C++17 起)

1-3) 计算度数为 n 且自变量为 x 的非关联 勒让德多项式。 库为所有 cv 无限定浮点类型提供了 std::legendre 的重载，作为参数 x 的类型。(自 C++23 起)

A) 为所有整数类型提供其他重载，这些类型被视为 double。

参数

n	-	多项式的次数
x	-	自变量，浮点或整数值

返回值

如果未发生错误，则返回 x 的 n 阶非关联勒让德多项式的值，即 \(\mathsf{P}_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathsf{d}^n}{\mathsf{d}x^n} (x^2-1)^n \)

1

2n n!

dn

dxn

(x2
-1)n
。

错误处理

错误可能按 math_errhandling 中指定的方式报告。

• 如果自变量为 NaN，则返回 NaN 且不会报告域错误
• 该函数不需要为 |x|>1 定义
• 如果 n 大于或等于 128，则行为由实现定义

注释

不支持 C++17 但支持 ISO 29124:2010 的实现，如果实现将 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定义为至少为 201003L 的值，并且如果用户在包含任何标准库头文件之前定义 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，则会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，将在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的实现也可以在 boost.math 中找到。

前几个勒让德多项式为

函数	多项式
legendre(0, x)	1
legendre(1, x)	x
legendre(2, x)	1 2 (3x2 - 1)
legendre(3, x)	1 2 (5x3 - 3x)
legendre(4, x)	1 8 (35x4 - 30x2 + 3)

其他重载不需要像 (A) 一样完全提供。它们只需要足以确保，对于整数类型的参数 num，std::legendre(int_num, num) 与 std::legendre(int_num, static_cast<double>(num)) 的效果相同。

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
 
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

输出

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

另请参阅

laguerrelaguerreflaguerrel (C++17)(C++17)(C++17)	拉盖尔多项式 (函数)
hermitehermitefhermitel (C++17)(C++17)(C++17)	厄米特多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. "勒让德多项式". 来自 Wolfram Web 资源 — MathWorld。