std::legendre, std::legendref, std::legendrel

 

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add_sat (C++26) sub_sat (C++26) saturate_cast (C++26)	mul_sat (C++26) div_sat (C++26)
通用数值运算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel   assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl   cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

定义于头文件 <cmath>
	(1)
float       legendre ( unsigned int n, float x ); double      legendre ( unsigned int n, double x ); long double legendre ( unsigned int n, long double x );			(C++17 起) (C++23 前)
/* floating-point-type */ legendre( unsigned int n,                                     /* floating-point-type */ x );			(C++23 起)
float       legendref( unsigned int n, float x );		(2)	(C++17 起)
long double legendrel( unsigned int n, long double x );		(3)	(C++17 起)
额外的重载
定义于头文件 <cmath>
template< class Integer > double      legendre ( unsigned int n, Integer x );		(A)	(C++17 起)

1-3) 计算 degree 为 n，自变量为 x 的非伴随 勒让德多项式。 库为所有非 cv 限定的浮点类型作为形参 x 的类型提供了 std::legendre 的重载。(C++23 起)

A) 为所有整数类型提供了额外的重载，它们被视作 double。

参数

n	-	多项式的 degree
x	-	自变量，浮点或整数值

返回值

若无错误发生，则返回 order-n 的非伴随勒让德多项式在 x 处的值，即 \(\mathsf{P}_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathsf{d}^n}{\mathsf{d}x^n} (x^2-1)^n \)

1

2n n!

dn

dxn

(x2
-1)n
。

错误处理

错误可能按 math_errhandling 中指定的方式报告。

• 若自变量是 NaN，则返回 NaN 且不报告定义域错误
• 不要求为此函数定义域为 |x|>1 的情况
• 若 n 大于等于 128，则行为是实现定义的

注解

不支持 C++17 但支持 ISO 29124:2010 的实现，若实现定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__，则提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的实现亦 在 boost.math 中可用。

前几个勒让德多项式为

函数	多项式
legendre(0, x)	1
legendre(1, x)	x
legendre(2, x)	1 2 (3x2 - 1)
legendre(3, x)	1 2 (5x3 - 3x)
legendre(4, x)	1 8 (35x4 - 30x2 + 3)

不要求额外的重载恰好按 (A) 提供。它们仅需足以保证对于整数类型的自变量 num，std::legendre(int_num, num) 具有与 std::legendre(int_num, static_cast<double>(num)) 相同的效果。

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
 
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

输出

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

参见

laguerrelaguerreflaguerrel (C++17 起)(C++17 起)(C++17 起)	拉盖尔多项式 (函数)
hermitehermitefhermitel (C++17 起)(C++17 起)(C++17 起)	埃尔米特多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. "勒让德多项式。" 来自 MathWorld — Wolfram Web 资源。