std::acosh(std::complex)

定义于头文件 `<complex>`
template< class T > complex<T> acosh( const complex<T>& z );		(自 C++11 起)

计算复数值 z 的复反双曲余弦，其分支切割线位于实轴上小于 1 的值。

std::acosh(std::conj(z)) == std::conj(std::acosh(z)).
如果 z 为 (±0,+0)，则结果为 (+0,π/2)。
如果 z 为 (x,+∞) (对于任何有限 x)，则结果为 (+∞,π/2)。
如果 z 为 (x,NaN) (对于任何^[1] 有限 x)，则结果为 (NaN,NaN) 且可能引发 FE_INVALID。
如果 z 为 (-∞,y) (对于任何正有限 y)，则结果为 (+∞,π)。
如果 z 为 (+∞,y) (对于任何正有限 y)，则结果为 (+∞,+0)。
如果 z 为 (-∞,+∞)，则结果为 (+∞,3π/4)。
如果 z 为 (±∞,NaN)，则结果为 (+∞,NaN)。
如果 z 为 (NaN,y) (对于任何有限 y)，则结果为 (NaN,NaN) 且可能引发 FE_INVALID。
如果 z 为 (NaN,+∞)，则结果为 (+∞,NaN)。
如果 z 为 (NaN,NaN)，则结果为 (NaN,NaN)。

↑ 根据 C11 DR471，这仅对非零 x 成立。如果 z 为 (0,NaN)，则结果应为 (NaN,π/2)。

[编辑] 注解

虽然 C++ 标准将此函数命名为 “complex arc hyperbolic cosine”（复反双曲余弦），但双曲函数的反函数是面积函数。它们的自变量是双曲扇形的面积，而不是弧长。正确的名称是 “complex inverse hyperbolic cosine”（复反双曲余弦），以及较不常见的 “complex area hyperbolic cosine”（复面积双曲余弦）。

反双曲余弦是多值函数，需要在复平面上进行分支切割。分支切割线通常放置在实轴的线段 $(-\infty,+1)$ 上。

反双曲余弦主值的数学定义为 $acosh z = ln(z + \sqrt z+1 \sqrt z-1)$ 。

对于任何 z，

acosh(z) = \sqrt z-1 \sqrt 1-z acos(z)

，或者在复平面的上半部分简单地为

i acos(z)

。

[编辑] 示例

运行此代码

#include <complex>
#include <iostream>
 
int main()
{
    std::cout << std::fixed;
    std::complex<double> z1(0.5, 0);
    std::cout << "acosh" << z1 << " = " << std::acosh(z1) << '\n';
 
    std::complex<double> z2(0.5, -0.0);
    std::cout << "acosh" << z2 << " (the other side of the cut) = "
              << std::acosh(z2) << '\n';
 
    // in upper half-plane, acosh = i acos 
    std::complex<double> z3(1, 1), i(0, 1);
    std::cout << "acosh" << z3 << " = " << std::acosh(z3) << '\n'
              << "i*acos" << z3 << " = " << i*std::acos(z3) << '\n';
}

输出

acosh(0.500000,0.000000) = (0.000000,-1.047198)
acosh(0.500000,-0.000000) (the other side of the cut) = (0.000000,1.047198)
acosh(1.000000,1.000000) = (1.061275,0.904557)
i*acos(1.000000,1.000000) = (1.061275,0.904557)

[编辑] 参见

acos(std::complex) (C++11)	计算复数的反余弦 (${\small\arccos{z}}$ $arccos(z)$ ) (函数模板) [编辑]
asinh(std::complex) (C++11)	计算复数的反双曲正弦 (${\small\operatorname{arsinh}{z}}$ $arsinh(z)$ ) (函数模板) [编辑]
atanh(std::complex) (C++11)	计算复数的反双曲正切 (${\small\operatorname{artanh}{z}}$ $artanh(z)$ ) (函数模板) [编辑]
cosh(std::complex)	计算复数的双曲余弦 (${\small\cosh{z}}$ $cosh(z)$ ) (函数模板) [编辑]
acoshacoshfacoshl (C++11)(C++11)(C++11)	计算反双曲余弦 (${\small\operatorname{arcosh}{x}}$ $arcosh(x)$ ) (函数) [编辑]
C 文档关于 cacosh

[1] 根据 C11 DR471，这仅对非零 x 成立。如果 z 为 (0,NaN)，则结果应为 (NaN,π/2)。

[1]

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std::acosh(std::complex)

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acos(std::complex) (C++11)	计算复数的反余弦 (\({\small\arccos{z}}\) $arccos(z)$ ) (函数模板) [编辑]
asinh(std::complex) (C++11)	计算复数的反双曲正弦 (\({\small\operatorname{arsinh}{z}}\) $arsinh(z)$ ) (函数模板) [编辑]
atanh(std::complex) (C++11)	计算复数的反双曲正切 (\({\small\operatorname{artanh}{z}}\) $artanh(z)$ ) (函数模板) [编辑]
cosh(std::complex)	计算复数的双曲余弦 (\({\small\cosh{z}}\) $cosh(z)$ ) (函数模板) [编辑]
acoshacoshfacoshl (C++11)(C++11)(C++11)	计算反双曲余弦 (\({\small\operatorname{arcosh}{x}}\) $arcosh(x)$ ) (函数) [编辑]
C 文档关于 cacosh