std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

 

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assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, double x ); double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, float x ); double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, long double x ); float       assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x ); long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );	(1)
double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, IntegralType x );	(2)

1) 计算 关联勒让德多项式 的次数 n，阶数 m，以及参数 x。

2) 一组重载或函数模板，接受任何 整数类型 的参数。等效于 (1)，在将参数转换为 double 之后。

与所有特殊函数一样，仅当实现将 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定义为至少 201003L 的值，并且用户在包含任何标准库头文件之前定义 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时，assoc_legendre 才能保证在 <cmath> 中可用。

参数

n	-	多项式的次数，无符号整数类型的值
m	-	多项式的阶数，无符号整数类型的值
x	-	参数，浮点数或整数类型的值

返回值

如果未发生错误，则返回关联勒让德多项式 Pm
n 的 x 值，即 (1 - x2
)m/2

dm

dxm

P
n(x)（其中 P
n(x) 是未关联的勒让德多项式，std::legendre(n, x)）。

错误处理

错误可能按 math_errhandling 中指定的报告。

• 如果参数为 NaN，则返回 NaN 且不报告域错误。
• 如果 |x| > 1，则可能发生域错误。
• 如果 n 大于或等于 128，则行为是实现定义的。

备注

不支持 TR 29124 但支持 TR 19768 的实现，会在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的实现也可在 boost.math 中获得。

前几个关联勒让德多项式为

• assoc_legendre(0, 0, x) = 1.
• assoc_legendre(1, 0, x) = x.
• assoc_legendre(1, 1, x) = -(1 - x2
  )1/2
  .
• assoc_legendre(2, 0, x) =

  1

  2

  (3x2
  - 1).
• assoc_legendre(2, 1, x) = -3x(1 - x2
  )1/2
  .
• assoc_legendre(2, 2, x) = 3(1 - x2
  ).

示例

(使用 gcc 6.0 时按所示工作)

运行此代码

#define __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 1
#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
 
double P21(double x)
{
    return -3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
 
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

输出

-0.125=-0.125
-1.29904=-1.29904
2.25=2.25

另请参阅

legendrelegendreflegendrel

勒让德多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. "Associated Legendre Polynomial." 来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource。