std::legendre, std::legendref, std::legendrel

 

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assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

double      legendre( unsigned int n, double x ); double      legendre( unsigned int n, float x ); double      legendre( unsigned int n, long double x ); float       legendref( unsigned int n, float x ); long double legendrel( unsigned int n, long double x );	(1)
double      legendre( unsigned int n, IntegralType x );	(2)

1) 计算 degree 为 n 和参数为 x 的非伴随 勒让德多项式。

2) 一组重载或函数模板，接受任何整型类型的参数。等价于将参数转换为 double 后的 (1)。

与所有特殊函数一样，只有当实现将 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 定义为至少 201003L 的值，并且用户在包含任何标准库头文件之前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时，才能保证 legendre 在 <cmath> 中可用。

参数

n	-	多项式的度
x	-	参数，浮点型或整型值

返回值

如果未发生错误，则返回 x 的 n 阶非伴随勒让德多项式的值，即

1

2n n!

dn

dxn

(x2
- 1)n
。

错误处理

错误可能按照 math_errhandling 中的规定报告。

• 如果参数是 NaN，则返回 NaN 且不报告域错误。
• 该函数不要求为 |x| > 1 定义。
• 如果 n 大于或等于 128，则行为是实现定义的。

注解

不支持 TR 29124 但支持 TR 19768 的实现，在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的实现也在 boost.math 中可用。

前几个勒让德多项式是

• legendre(0, x) = 1。
• legendre(1, x) = x。
• legendre(2, x) =

  1

  2

  (3x2
  - 1)。
• legendre(3, x) =

  1

  2

  (5x3
  - 3x)。
• legendre(4, x) =

  1

  8

  (35x4
  - 30x2
  + 3)。

示例

(在 gcc 6.0 中显示有效)

运行此代码

#define __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 1
#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P3(double x)
{
    return 0.5 * (5 * std::pow(x, 3) - 3 * x);
}
 
double P4(double x)
{
    return 0.125 * (35 * std::pow(x, 4) - 30 * x * x + 3);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

输出

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

参见

laguerrelaguerreflaguerrel	拉盖尔多项式 (函数)
hermitehermitefhermitel	埃尔米特多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. "Legendre Polynomial." 来自 MathWorld — Wolfram Web 资源。